Nie bójmy się stosować prostej matematyki

Wymagania od czytelnika: matematyka- znajomość prostych algebraicznych przekształceń,fizyka- pojęcie transformacji Lorentza wprowadzone w poprzedniej czytance znajdującej się    Dodatkowe- zdolność do koncentracji uwagi i wyobraźnia, zalecana bujna.

 

W niniejszym tekście, zamierzam pokazać zainteresowanym czytelnikom dlaczego obserwator ,,spoczywający'', obserwujący swojego kolegę poruszającego się względem niego z prędkością relatywistyczną, upiera się, że u niego czas ,,płynie'' wolniej i czy to rzeczywiście jest prawdą, bo może to wyglądać na niedorzeczność. 
Poza tym przyjrzymy się odległości pomiędzy nimi. 

Skądinąd niejeden czytelnik słyszał już wiele na ten temat, ale może nie wie dokładnie dlaczego tak się dzieje - stąd ciągle pojawiające się i nawracające jak bumerang dyskusje na ten temat, graniczące ze zwątpieniem co do logiki teorii względności.
Czy to, co napiszę, jest logiczną konsekwencją wyprowadzonej we wcześniejszej czytance transformacji Lorentza, będę usiłował pokazać ,,palcami'' wykorzystując tam wprowadzoną interpretację dwuwymiarowej czasoprzestrzenii Minkowskiego oraz czasu i przestrzeni przynależnych obserwatorom.

Czy przekonam czytelnika do sensowności wniosków płynących z teorii względności, oraz tego jak je należy poprawnie rozumieć,  tego nie wiem. I chyba nie będzie to moim celem. Ograniczę się tylko do wykazania poprawności wniosków z przyjętą strukturą teorii względności. Natomiast problem czy to jest absolutnie słuszne, sprowadza się do słuszności przyjętych aksjomatów teorii względności i wynikającej z nich koncepcji struktury Minkowskiego, jako modelu czasoprzestrzeni. A to jest oddzielnym i obszernym problemem trapiącym nie tylko laików ale i specjalistów. Według stanu na dzień dzisiejszy nie ma jawnych faktów dających podstawy do zwątpień w obszarze otaczającego nas makroświata. 
Ale nawet gdy takie podstawy zostaną w przyszłości odkryte, to zgodnie z logiką rozwoju teorii fizycznych zostaną tylko zawężone granice opisu rzeczywistości przez teorię względności, tak jak to się dzieje z klasyczną mechaniką Newtona. A nowa teoria wchłonie teorię względności jako graniczny przypadek. Zbyt duży jest obszar poprawnych przewidywań i konsekwencji szczególnej teorii względności i teorii z niej wyrosłych aby została w całości odrzucona. Tak więc, mimo wszystko nie stracimy czasu, jeżeli przyjrzymy się tym ,,dziwnym'' konsekwencjom. Najpierw jednak poczynimy kilka dodatkowych uwag dotyczących samej interpretacji i rozumienia czasoprzestrzeni wraz z jej zawartością, uwag pogłębiających rozumienie poprzedniego mojego tekstu i obecnego. 

Obejrzyjmy na wstępie krótki filmik z tegorocznego maratonu paryskiego (Rysunek 1.)


 Rys.1.  Ruch w przestrzeni fizycznej (kliknij obrazek)


Rozpoznajemy w nim najpowszechniejsze zjawisko przyrody jakim jest ruch mechaniczny ciał w przestrzeni fizycznej. Na filmie, bieg maratończyków - przemieszczanie się jednych względem drugich i względem Ziemi. Tylko dominujące rozmiary Ziemi powodują, że jest ona wyróżnionym układem odniesienia względem którego wygodnie jest opisywać ruch innych zawodników i który umownie spoczywa. Ale równie dobrze można ruch maratończyków oraz Ziemi opisywać względem innego układu odniesienia, na przykład związanego z maratończykiem w pomarańczowej koszulce, który wtedy uważać będziemy za spoczynkowy. Co prawda kosztem większego skomplikowania opisu i wygody rachunków, ale bez łamania jakiegokolwiek prawa Natury. Z każdym z maratończyków można związać matematyczny układ współrzędnych, w którym znajduje się on w spoczynku, podobnie jak z układem odniesienia Ziemi, w którym Ziemia spoczywa. Dokładniej, z dowolnie obranym punktem powierzchni Ziemi.

Jeżeli już wyróżnimy jeden taki układ odniesienia i związany z nim układ współrzędnych i umownie będziemy uważać go za spoczynkowy, wtedy zauważymy, że cechą ruchu jako funkcji czasu jest zmienna lokalizacja w przestrzeni tego układu odniesienia, każdego z ciał. Tylko w danej ustalonej chwili ciało zajmuje określone położenie, po czym go opuszcza przyjmując inne w następnej umownej chwili czasu.

Wprowadzenie pojęcia czasoprzestrzeni, zmieniło to wyobrażenie ruchu. Czasoprzestrzeń jest jakby nieprzeliczalnym ,,ciągiem'' fotografii zamrożonych w czasie, pozbawionych cechy ruchu ze względu na eliminację ,,płynięcia'' czasu. Jest zbiorem fotografii z uchwyconymi w poszczególnych chwilach dziejącymi się w przestrzeni fizycznej zdarzeniami fizycznymi. Na rysunku 2  mamy taki ciąg fotografii przedstawiający bieg maratoński z powyższego filmu - statyczny ciąg obrazów dla poszczególnych chwil czasu. Na takiej czasoprzestrzeni wyeliminowano zjawisko ruchu i upływu czasu. Upływ czasu ,,zastąpiono'' numerem klatki filmowej, a ruch współrzędnymi zawodnika w układzie współrzędnych związanych z Ziemią dla danej klatki filmowej i zmieniających się od klatki do klatki. 

 

 

Rys.2. Sekwencja obrazów w czasoprzestrzeni (kliknij)


Na pytanie gdzie w przestrzeni znajduje się maratończyk w pomarańczowej koszulce podczas oglądania filmu nie da sie odpowiedzieć bez doprecyzowania pytaniem o czas. I to charakteryzuje zjawisko ruchu w tej przestrzeni. Natomiast na pytanie gdzie w czasoprzestrzeni - statycznym ciągu fotografii znajduje się maratończyk w pomarańczowej koszulce odpowiedź jest jedna - wszędzie w każdej chwili w zakresie czasu trwania biegu maratońskiego. Wybór konkretnej fotografii jednoznacznie określa nam położenie maratończyka w przestrzeni i czasie na trasie biegu. Tu maratończyk się nie porusza, tylko istnieje, na każdej fotografii w innym miejscu. To cechuje brak ruchu na czasoprzestrzeni. 

Podsumowując kategoria ruchu fizycznego (przemieszczania) występuje tylko w przestrzeni fizycznej, a nie w czasoprzestrzeni. W czasoprzestrzeni mamy natomiast geometrię.

Samo odkrycie czasoprzestrzeni i wprowadzenie jej do fizyki nie wniosłoby nic nowego do niej gdyby nie odkrycie faktu, że taka czasoprzestrzeń posiada dobrze określoną strukturę geometryczną Minkowskiego. To jest zupełna nowość w stosunku do czasoprzestrzeni fizyki klasycznej. Fizyka, z tak wprowadzonym nowym językiem, sprowadza się do badania i interpretacji tej nowej geometrii. Oczywiście w pewnym uproszczeniu. Szczególna teoria względności w takim ujęciu wykazuje spójność logiczną i walory estetyczne trudne do dostrzeżenia w ujęciach intuicyjno-empirycznych. 

Czasoprzestrzeń jest modelem zdarzeń już dokonanych w całej rozciągłości czasowej. Znajduje w niej odbicie cała fizyka, w tym pojęcie ruchu i obserwatorów inercjalnych. A jak? 

Ano tak: obserwatorom inercjalnym i cząstkom w ,,ruchu jednostajnie prostoliniowym'' lub ,,pozostającym w spoczynku'', odpowiadają proste typu czasowego. Już wiemy, że nie oznacza to, że po tych prostych obserwatorzy się poruszają. Możemy wybierać, do naszych analiz, poszczególne punkty tych prostych, reprezentujące stany obserwatorów w danej chwili ich czasów własnych. Gdy to się dzieje (ten wybór) w jakiejś rozciągłości czasowej, od punktu do punktu w sposób ciągły, to mówimy o ,,ewolucji'' obserwatora wzdłuż jego linii świata. Ale to nie jest ruch typu fizycznego. Obserwatorom spoczywającym (w przestrzeni fizycznej) względem siebie, odpowiadają w p. Minkowskiego proste równoległe. Obserwatorom będącym w ruchu (w przestrzeni fizycznej) względem siebie, odpowiadają proste tworzące jakiś kąt między sobą. Tak, jak w przestrzeni fizycznej, jeden obserwator umownie spoczywał, tak w czasoprzestrzeni jedna z prostych reprezentuje tego spoczywającego obserwatora. Druga obserwatora w ruchu. Często obserwatorowi umownie spoczywającemu (znów podkreślę w przestrzeni fizycznej) przyporządkowuje się prostą pokrywającą się z osią OY układu współrzędnych ortonormalnych na czasoprzestrzeni. Ale niekoniecznie. To tylko upraszcza rachunki.

A co reprezentuje inercjalne układy odniesienia na czasoprzestrzeni? 

Przywołajmy uzupełniony rysunek z poprzedniego artykułu (Rys. 3.) Proste oraz przedstawiają linie świata dwóch obserwatorów inercjalnych poruszających się względem siebie. Są to proste typu czasowego i reprezentują czasy własne obserwatorów liczone od punktu początkowego w którym się pokrywają. Synchronizacja wskazań zegarów wymaga aby   Prostopadłe do linii świata rodziny hiperprzestrzeni    oraz  to przestrzenie fizyczne odpowiednich obserwatorów w poszczególnych momentach ich czasów własnych. Stanowią one zbiory zdarzeń równoczesnych z daną chwilą. W każdej chwili czasu własnego i   w tych przestrzeniach wprowadzono prostoliniowe i ortonormalne układy współrzędnych dane przez wprowadzone tam repery przestrzenne, oraz reper czasowy na linii świata. W ten sposób na czasoprzestrzeni uzyskaliśmy reprezentację inercjalnych układów odniesienia poruszających się wzajemnie w przestrzeni. Podsumujmy. 

 W czasoprzestrzeni układ odniesienia obserwatora inercjalnego, albo inercjalny układ odniesienia, to rodzina reperów ortonormalnych wzdłuż linii świata obserwatora, w której jeden wektor jednostkowy czasowy jest  na linii świata obserwatora a trzy przestrzenne (u nas w przypadku dwuwymiarowym - jeden) do niego pseudoortogonalne i wzajemnie ortonormalne, zawarte są w przestrzeniach fizycznych obserwatora w poszczególnych chwilach czasu własnego.

Na rysunku, przestrzeń euklidesowa    będąca izometryczna z każdą     reprezentuje rzeczywistą, niezależną od czasu, przestrzeń fizyczną obserwatora    w której odbywają się rzeczywiste ruchy. Podobnie dla obserwatora przestrzeń fizyczna     jest izometryczna z każdą  . Ruch obserwatora    w przestrzeni fizycznej reprezentuje ciąg punktów    w poszczególnych chwilach   .  Natomiast ruch obserwatora  w przestrzeni fizycznej    reprezentuje ciąg punktów     w poszczególnych chwilach  . Odbywa się on w przeciwnym kierunku.

 

 Rys.3. Układy odniesienia obserwatorów

Te dwa ciągi punktów   w przestrzeni fizycznej   oraz   w   reprezentujące poruszających się obserwatorów wraz z układami współrzędnych danymi przez ,,poruszające'' się repery w tych przestrzeniach to nic innego jak dwa klasycznie pojmowane układy odniesienia na przestrzeni fizycznej. I takich układów odniesienia dotyczą transformacje Lorentza przeze mnie omawiane. Przypomnijmy sobie jak one wyglądają w czasoprzestrzeni dwuwymiarowej: 


Analitycznie dotyczą one związków pomiędzy współrzędnymi, w prostoliniowym ortonormalnym układzie współrzędnych, czasu i przestrzeni jakiegoś zdarzenia   wspólnie ,,obserwowanego'' w dwóch inercjalnych układach odniesienia, z których jeden umownie spoczywa, ten w którym współrzędne zdarzenia uważamy za dane. Drugi zaś względem niego porusza się z prędkością   ruchem jednostajnie prostoliniowym. Przyjmujemy, że w chwili początkowej, umownie zerowej, ich początki układów odniesienia pokrywały się i poruszają się w tym samym kierunku. 
Zezwalają więc one na wyliczenie tych parametrów u jednego z obserwatorów, gdy są znane u drugiego. 
Przyjęliśmy ponadto umowę o układzie jednostek takich, że prędkość światła   c=1.  Wtedy czas wyraża się w jednostkach długości.


Rys.4.


Proste transformacje Lorentza dotyczą przejścia od współrzędnych  zdarzenia  w układzie odniesienia obserwatora    do współrzędnych  w układzie odniesienia obserwatora .

Zwracam uwagę na to, że współrzędne w układzie odniesienia obserwatora to są współrzędne mierzone przez obserwatora, to znaczy wskazywany czas  na zegarze współporuszającym się i względna odległość  zdarzenia P od obserwatora a więc para . Odpowiada to w reperze ruchomym związanym z obserwatorem w punkcie  A zdarzenu czasoprzestrzeni o współrzędnych  , a w układzie współrzędnych związanych z punktem  Q   zdarzeniu   P  o współrzędnych  . Ponadto przyjąłem umowę o dodatniości czasu minionego. Podobnie dla primowanego.

 Transformacje odwrotne otrzymamy zamieniając współrzędne primowane na nieprimowane i na odwrót, oraz prędkość na  .   Empirycznie, wtedy  uważa się za spoczynkowego. Otrzymamy wtedy:

 Zilustrowane jest to wszystko na diagramie (Rys. 4) z poprzedniej czytanki.

Wykorzystajmy teraz te transformacje do postawienia i rozwiązania trzech nasuwających się problemów, które można wysłowić następująco i zilustrować na diagramie (Rys. 5):

1. Jakie są związki pomiędzy chwilami obserwacji przez obu obserwatorów zdarzenia    znajdującego się u obserwatora ,,poruszającego'' się, to jest gdy    ?
Związki te odpowiadają na pytanie:   jaką chwilę czasu    ,,widzi'' obserwator ,,spoczywający''     na zegarze u obserwatora ,,poruszającego'' się  podczas gdy u siebie rejestruje chwilę ?
Jaka jest wtedy odległość  obserwatora ,,poruszającego'' się  od ,,spoczywającego''  ?

I na odwrót, symetrycznie:

2. Jakie są związki pomiędzy chwilami obserwacji przez obu obserwatorów zdarzenia    znajdującego się u obserwatora ,,spoczywającego'' to jest gdy ?
Związki te odpowiadają na pytanie:  jaką chwilę czasu   ,,widzi'' obserwator ,,poruszający'' się u obserwatora ,,spoczywającego''     podczas gdy u siebie rejestruje chwilę  ?
Jaka jest wtedy odległość  obserwatora ,,spoczywającego''    od ,,poruszającego'' się  ?

Zwróćmy uwagę na to, że piszę cały czas w cudzysłowie wyrazy ,,spoczywający'', ,,poruszający''. 
Akcentuję to wyraźnie, gdyż to kategoria umowna. Gdy rozpatruję zdarzenie   względem 
obserwatora    to on jest właśnie tym obserwatorem spoczynkowym, a    poruszającym się. Pokazałem to na diagramie układów odniesienia. Nie ma absolutnego spoczynku i ruchu. Warto znać jeszcze odpowiedź na trzecie pytanie: 

3.  Jakie są związki pomiędzy chwilami obserwacji przez obu obserwatorów zdarzenia    znajdującego się u obserwatora ,,spoczywającego'' a dokładniej, gdy ?
Związki te odpowiadają na pytanie:   w jakiej chwili   swojego czasu ,,widzi'' obserwator ,,poruszający'' się   obserwatora ,,spoczywającego''  podczas gdy on dokonuje aktu ,,obserwacji'' obserwatora poruszającego się, w swojej chwili   ? 
No i to samo pytanie dotyczące odległości   obserwatora ,,spoczywającego''   od ,,poruszającego'' się   ?

 Rys.5. względność czasu i odległości

 Chcąc zatem odpowiedzieć na pierwsze z pytań, zauważmy, że współrzędne zdarzenia dla obserwatora   są   a dla obserwatora  odpowiednio . 
Podstawiając je do transformacji    otrzymujemy:

a stąd wyliczając  z drugiego równania i podstawiając do pierwszego otrzymujemy po prostych przekształceniach:

Te same związki otrzymamy wstawiając współrzędne omawianego zdarzenia   do transformacji odwrotnej  . 

Z pierwszego równania wnioskujemy, że: 

Interpretujemy ten wniosek jako ,,spowolnienie'' biegu czasu u obserwatora ruchomego  względem obserwatora spoczynkowego . 

Odpowiadając na drugie pytanie, wstawiamy współrzędne zdarzenia   równe    dla obserwatora  ,   a odpowiednio  dla obserwatora   do transformacji odwrotnej  .  Otrzymujemy wtedy:


I podobnie jak poprzednio wyliczamy  z drugiego równania i podstawiamy do pierwszego a po prostych przekształceniach otrzymamy:

 oraz wnioskujemy z pierwszego równania, że:

Tym razem otrzymujemy spowolnienie biegu czasu u obserwatora ,,spoczynkowego''    względem obserwatora ,,poruszającego'' się  . 

Porównując jeszcze współrzędne odległości wzajemnej obserwatorów otrzymamy z drugiego z ostatnich równań  (4)  oraz z wykorzystaniem równań (2):

Przechodząc do wartości bezwzględnych, gdyż interesują nas odległości, otrzymamy:

oraz wynik porównania:

Zatem, poruszający się obserwator, w chwili gdy jest obserwowany przez spoczynkowego, widzi tego ostatniego w odległości mniejszej niż ten spoczynkowy jego. Oznacza to, że wzajemne względne odległości obserwatorów nie są sobie równe. Zilustrujmy te wszystkie wnioski prostym przykładem.


Weźmy dla przykładu astronautów na statku kosmicznym lecących z prędkością  0.8c  ruchem jednostajnie prostoliniowym. Zakładamy zsynchronizowanie zegarów z ziemskimi w chwili gdy przelatywali obok Ziemi. Załóżmy, że upłynęło od tej chwili na Ziemi  10  lat ziemskich. 
Przez wizjer czasoprzestrzenny (*)  Ziemianie dostrzegają na zegarach w statku kosmicznym, że u astronautów upłynęło dopiero:

Oznacza to, że według Ziemian czas na statku kosmicznym płynie wolniej. Odległość do statku kosmicznego wynosi przy tym:

A co sądzą w tym czasie astronauci? Skoro u nich upłynęło 6  lat od chwili początkowej, to oni dostrzegają przez swój  wizjer czasoprzestrzenny, że na Ziemi zegary wskazują:


Twierdzą więc, że to na Ziemi czas płynie wolniej. A odległość Ziemi od statku kosmicznego wynosi przy tym:


Wniosek: odległość jaką oni ,,mierzą do Ziemi jest mniejsza niż odległość jaką ,,mierzą'' Ziemianie do statku.
 

(*) Wizjer czasoprzestrzenny  to magiczna luneta, działająca w oparciu o prawa magii i czarów, pozwalająca natychmiastowo widzieć co dzieje się w odległych miejscach Wszechświata, jeżeli na te miejsca ją skierujemy (to mój patent NR GL581-M-8261-H-9106-G-8465). :)


Czasy   oraz  ,  jeżeli są odczytywane przez obserwatorów na zegarach współporuszających się z nimi, to jest umieszczonych w ich własnych układach odniesienia, noszą nazwę czasów własnych. Wskazują je zatem zegary związane z obserwatorami. Ich wskazania nie zależą od innych obserwatorów i ich układów odniesienia i są one w tym sensie absolutne. Każdy obserwator, każdy obiekt fizyczny podlega upływowi jego czasu własnego. Jest to ten czas dynamiczny, w którym następuje ,,starzenie się'' danego obiektu. My też starzejemy się według czasu własnego. Niekiedy pytamy jak szybko ten czas ,,biegnie''. Podkreślam - czas własny. Pytanie to nie niesie w sobie jednak żadnej wartościowej treści fizycznej. Aby mówić o szybkości upływu czasu, albo lepiej o tempie upływu czasu, należałoby wskazać względem czego tę szybkość mamy definiować. Względem jakiego parametru zmiany. Dla czasu własnego danego obiektu nie ma takiego parametru fizycznego i jedyną rozsądną odpowiedzią byłaby odpowiedź, względem jego czasu własnego. Ale wtedy szybkość biegu czasu własnego, dla obiektu podlegającego jego upływowi jest zawsze 1 - jako konsekwencja tej definicji. To tak samo jakby pytać, jaka jest prędkość ciała względem związanego z nim układu odniesienia. Zawsze jest z definicji zerowa 0.

Zatem, w analogii, czasy własne na mocy definicji biegną zawsze, dla/u każdego obserwatora tak samo, z ,,prędkością'' 1. 
Ten parametr odniesienia, który posłużyć by mógł do wyrażenia tempa zmiany czasu własnego danego obserwatora, przez tegoż obserwatora, można byłoby ,,wziąć'' spoza czasoprzestrzeni, ale wtedy równoważne byłoby to wprowadzeniu jakiejś zewnętrznej formy czasu absolutnego reprezentowanej przez ten parametr, a do tego nie ma podstaw fizycznych by to robić. Przynajmniej na dzień dzisiejszy. 

Dlatego odpowiedź na pytanie jak szybko starzeją się kosmonauci lecący w statku kosmicznym, niezależnie od ich prędkości jest zawsze taka sama - starzeją się tak samo - u nich bowiem ich czas własny biegnie tak samo. I tak samo biegnie dla Ziemian. Kosmonauci, z jakkolwiek dużą prędkością by się poruszali, nigdy nie stwierdzą jakiejkolwiek anomalii w chodzie ich zegarów, ani nie odczują na sobie efektów relatywistycznych. Błędem jest niekiedy spotykane twierdzenie, że zegary w ruchu jakoby ulegały ,,rozsynchronizowaniu''. 

Innym problemem jest względność tempa upływu czasu. W tym przypadku pytamy o to jak czas własny danego obserwatora poruszającego się względem innego na przykład umownie spoczynkowego, jest przez tego ostatniego ,,widoczny'', jakby przez wizjer czasoprzestrzenny, jak w podanym przykładzie. Innymi słowy, pytamy o to które chwile czasu własnego obserwatora poruszającego się dostrzega obserwator nieruchomy podczas gdy u niego są chwile ? 
Dla każdego to postrzeganie dotyczy tego zdarzenia na zegarze poruszającym się - odpowiadającego jego chwili , które jest w przestrzeni zdarzeń równoczesnych ze zdarzeniem u obserwatora spoczynkowego odpowiadającym na jego zegarze chwili  . Odpowiedzią na to pytanie jest wzór  (2) dotyczący czasów. Zauważmy, że w tym przypadku parametrem zmiany, względem którego mierzymy tempo upływu czasu własnego obiektu poruszającego się, jest czas własny obserwatora spoczynkowego. I wtedy czynnik 


jest miarą tego tempa (prędkości) upływu czasu własnego względem obserwatora ,, spoczynkowego''.

Każdy inny obserwator, zmierzy dla siebie charakterystyczną prędkość upływu czasu własnego obserwatora poruszającego się. Czas ten jest wielkością czysto kinematyczną i nie ma żadnego wpływu na dynamikę procesów, w tym bieg czasu własnego u obserwatora poruszającego się. Nazywam go czasem kinematycznym. Czas kinematyczny powstaje z nowego tempa ,,uszeregowania'' chwil czasowych czasu własnego obserwatora ruchomego, a nawet z nowego ich uszeregowania i wpływ na to ma prędkość obserwatora poruszającego się względem nieruchomego. W pewnym sensie jest to czas ,,pozorny'' gdyż nie uczestniczy on w dynamice procesów zachodzących u obserwatora ruchomego. Ta pozorność jednak ma swoje całkiem realne konsekwencje o czym będę pisał innym razem. Zaś czas dynamiczny  jest tym ,,prawdziwym'' i obiektywnym czasem. 
Nasuwa się tu dalsza analogia ze względną prędkością ciał. Tylko prędkości względem innych obserwatorów mają sens fizyczny i są mierzalne przez tych obserwatorów. Tak samo tylko czasy kinematyczne są dostępne dla zewnętrznych obserwatorów, gdyż są to zewnętrzne ,,manifestacje'' czasu własnego niedostępnego w inny sposób dla tego zewnętrznego obserwatora.

Jeżeli udało mi się wyjaśnić te pojęcia: obiektywnego czasu własnego -  dynamicznego i pozornego czasu postrzeganego -  kinematycznego to czytelnik zgodzi się ze mną, że stwierdzenie popularnie wyrażane słowami:  w układach poruszających się czas płynie wolniej  jest co najmniej niepoprawne. Niepoprawność wynika z nieścisłości - nie jest jasne o jaki czas chodzi: - dynamiczny czas własny, czy kinematyczny czas postrzegany. Astronauci nie starzeją się wolniej, starzeją się tak samo. A my postrzegamy ich, że starzeją się wolniej, gdyż z racji pozostawania w układzie spoczynkowym postrzegamy wcześniejsze chwile ich czasu własnego. Wybiegając nieco w przyszłość mogę tu już uczynić uwagę, że podobnie interpretujemy czas kinematyczny i czas własny dla nieinercjalnych układów odniesienia. Z tym, że, jak się okazuje, czas kinematyczny w układzie poruszającym się może też ,,płynąć'' szybciej . Albo nawet ... ,,płynąć'' do tyłu. W swoim czasie zamierzam o tym szerzej napisać.

Na początku XX wieku po opublikowaniu teorii względności przez A.Einsteina, rezultaty które tu opisałem wydawały się sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem i budziły sprzeciw wielu naukowców. W dniu dzisiejszym nadal wydają się kontrowersyjne ale raczej już tylko dla laików niż fizyków. Dlatego zdarzają się częste powątpiewania tych pierwszych i nierzadkie sprzeciwy. Ale bierze się to często z mylnego rozumienia tych pojęć, nieodróżniania czasu dynamicznego od kinematycznego. Jeżeli je utożsamimy świadomie czy podświadomie, to dochodzi do paradoksów. No bo jak sobie wyobrazić, że upływ czasu obiektu poruszającego się może zależeć od tego, kto go obserwuje? 
A tu, jak się okazuje, nie ma nic nadzwyczajnego. To dokładnie tak samo jak fakt, że prędkość ciała zależy od układu odniesienia. I nikt się temu nie dziwi. Prędkości obserwowane są inne, a prędkość własna (w swoim układzie odniesienia), zawsze ta sama zerowa.
Podobnie każdy czas własny, dynamiczny, biegnie z prędkością własną 1, a czasy obserwowane,  kinematyczne, zależą od obserwatora. 

No, a co z odległością? Czy coś dziwnego jest w asymetrii odległości pomiędzy obserwatorami? Czy rzeczywiście poruszający się obserwator ma bliżej do nieruchomego niż nieruchomy do poruszającego się, czy ta nierówność   to coś dziwnego? 

Absolutnie nie. Skoro nieruchomy   ,,widzi'' ruchomego  w jego chwili wcześniejszej czasu własnego to nic dziwnego, że tamten w tej chwili ma odległość do nieruchomego mniejszą. 

Jeżeli przez    oznaczymy tę chwilę czasu własnego  obserwatora    w której on ,,widzi'' obserwatora   w odległości  (to jest tę samą odległość co obserwator    widzi )   to z równania  (4)  i  (2)   wynika, że będzie to chwila:


a więc jest ona taka sama jak dla obserwatora  . A to jest zgodne z tym, że u nich czasy własne biegną tak samo. Naturalnie, obserwator   będzie wtedy postrzegał już inną chwilę u  , więc też inną odległość. 

Pozostaje nam jeszcze odpowiedzieć na na trzecie postawione przez nas pytanie.

W tym przypadku zdarzeniem   P  jest zdarzenie  A, to jest  P=A.  Współrzędne tego zdarzenia dla obserwatora     to , zaś dla obserwatora     to   . 

Podstawiając je, na przykład, do prostych transformacji Lorentza    otrzymamy:

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego oraz drugie z równań  (2)  też do drugiego, uzyskujemy : 


Z pierwszego z równań  (5)  oraz ostatniego z powyższych wynika, że:

co jest zgodne z intuicjami, że będzie to w przyszłości obserwatora  .


Przywołując jeszcze nasz przykład astronautów ze statku kosmicznego, można teraz zapytać, kiedy astronauci, według swojego czasu własnego t' zobaczą u Ziemian ich chwilę czasu  t=10  lat, w której są obserwowani. I jaka będzie wtedy odległość    do Ziemi? Ze wzorów  (5)  i  (6)  mamy: 



oraz


O wnioskach dotyczących transformacji Lorentza obrazów optycznych zdarzeń napiszę innym razem.


Tę i poprzednie czytanki w formacie można znaleźć w    M.H.G